Pada Bidang Koordinat Dengan Titik O(0,0), A(3,4) Dan B(-2,2). Jika Oa = A Dan Ob = B, Maka Nilai M Sehingga |a + Mb| Minimum Adalah …

Halo kawan kawan,

Mari kita bahas soal berikut ini

 

Soal:

Pada bidang koordinat dengan titik O(0,0), A(3,4) dan B(-2,2). Jika OA = a dan OB = b, maka nilai m sehingga |a + mb| minimum adalah …

Jawaban:

Jawaban dari pertanyaan di atas adalah -¼.

Mari kita bahas!
Vektor posisi merupakan vektor yang memiliki titik pangkal di pusat koordinat, yaitu O(0,0) dan memiliki titik ujung di suatu koordinat (x,y). Misalkan suatu titik U(p,q), maka vektor posisinya adalah sebagai berikut:
OU = u
= U-O
= (p,q)-(0,0)
= (p,q)
Panjang vektornya dapat dirumuskan sebagai berikut:
|u| = √(a²+b²)

Mari tentukan vektor a atau OA dan vektor b atau OB.
a = (3,4)
b = (-2,2)
Lalu, tentukan vektor a+mb.
a+mb = (3,4)+m(-2,2)
= (3,4)+(-2m,2m)
= (3-2m,4+2m)
Mari tentukan |a+mb|.
|a+mb| = √((3-2m)²+(4+2m)²)
= √(9-12m+4m²+16+16m+4m²)
= √(8m²+4m+25)

Agar panjang vektor minimum, haruslah nilainya nol (karena panjang vektor tidak pernah bernilai negatif dan nilai minimumnya adalah nol).
|a+mb| = 0
√(8m²+4m+25) = 0
8m²+4m+25 = 0
Cek nilai diskriminannya.
D = 4²-4∙8∙25
= 16-800
= -784
Karena nilainya negatif, maka tidak ada nilai m yang memenuhi persamaan kuadrat tersebut. Ini berarti, nilai minimumnya bukan di nol (persamaan kuadratnya tidak pernah bernilai nol), tetapi nilai yang lebih besar dari nol.

Gunakan turunan untuk meminimumkan panjang vektornya. Misalkan:
f(m) = |a+mb|
= √(8m²+4m+25)
= (8m²+4m+25)^(½).
f'(m) = ½(8m²+4m+25)^(-½)∙(16m+4)
= (16m+4)/[2√(8m²+4m+25)]
Agar minimum:
f'(m) = 0
(16m+4)/[2√(8m²+4m+25)] = 0
Penyebut tidak boleh bernilai nol agar terdefinisi, tetapi pembilang boleh bernilai nol. Dari pencarian akar persamaan kuadrat sebelumnya, diperoleh bahwa persamaan kuadrat tersebut tidak pernah bernilai nol. Maka dari itu, kalikan kedua ruas dengan bentuk akar pada penyebutnya.
16m+4 = 0
16m = -4
m = -4/16
m = -¼

Jadi, nilai m sehingga |a + mb| minimum adalah -¼.

 

Semoga jawaban diatas dapat membantu kawan belajar ya. apabila ada pertanyaan silakan berkomentar dibawah ini.

 

Salam sukses selalu

 

Leave a Comment